数学年黑龙江省齐齐哈尔市高考

美丽黄皮肤行动 http://m.39.net/news/a_6204493.html

一、选择题（每题5分）.

1．若i为虚数单位，则＝（　　）

A．B．C．D．

2．已知集合A＝{x

x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，11，14}，则A∩B的真子集个数为（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

3．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百个）之间的四组数据如表：

售价x

5.5

销售量y

用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程＝﹣1.4x+17.5，那么表中实数a的值为（　　）

A．4B．4.7C．4.6D．4.5

4．若过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与左顶点的直线方程为x﹣2y+2＝0，则椭圆C的标准方程为（　　）

A．＝1B．＝1

C．＝1D．＝1

5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　）

A．B．C．D．1﹣

6．已知等比数列{an}中，anan+1＝4n，则公比q为（　　）

A．B．2C．±2D．±

7．函数y＝（x3﹣x）?3

的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

8．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.优选法“在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t＝≈0.还可以表示成2sin18°，则＝（　　）

A．4B．﹣1C．2D．

9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A．6B．7C．D．

10．函数y＝sin2x﹣cos2x的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称

C．函数f（x）的图象关于（，0）对称

D．函数f（x）在[，]上递增

11．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD，AB＞CD，若双曲线E以A，B为焦点，且过C，D两点，则双曲线E的离心率的取值范围为（　　）

A．B．C．D．

12．若直角坐标平面内A，B两点满足：

①点A，B都在函数f（x）的图象上；

②点A，B关于原点对称，则称点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”．

已知函数f（x）＝．恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜e﹣2B．0＜a≤e﹣2C．0＜a＜e﹣1D．0＜a≤e﹣1

二、填空题（共4小题）.

13．已知向量

＝2，＝（3，﹣4），若?（+）＝，则向量与向量夹角的余弦值为

14．安排5个党员（含小吴）去3个不同小区（含M小区）做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M小区，但是小吴不去M小区，则不同的安排方法数为．

15．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在同一球面上，底面ABC是等腰直角三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于．

16．将正整数排成如下数阵：

用aij表示第i行第j列的数，若aij＝，则i+j的值为．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角B的大小；

（2）若a+c＝6，b＝2?，求△ABC的面积．

18．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB．

（1）求证：PA⊥CD；

（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

19．第五代移动通信技术（英语：5thgenerationmobilenetworks或5thgenerationwirelesssystems、5th﹣Generation，简称5G或5G技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G（LTE﹣A、WiMax）、3G（UMTS、LTE）和2G（GSM）系统之后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取名学生参与测试，并将得分绘制成如表频数分布表：

得分

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，]

男性人数

女性人数

（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关？

不太了解

比较了解

合计

男性

女性

合计

（2）以这名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率，现从该校学生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：K2＝（n＝a+b+c+d）．

临界值表：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

10.

20．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．

（1）求抛物线C1的方程；

（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN，问直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

21．已知函数f（x）＝lnx+．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；

（3）求证：当x＞0时，ln（x+1）＞．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．直角坐标系xOy中，曲线C：+＝1，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcosθ+2ρsinθ＝5．

（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；

（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝

x﹣3

，g（x）＝﹣

x+4

+m．

（1）已知常数a＜2，解关于x的不等式f（x）+a﹣2＞0；

（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1．若i为虚数单位，则＝（　　）

A．B．C．D．

解：＝，

故选：D．

2．已知集合A＝{x

x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，11，14}，则A∩B的真子集个数为（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

解：因为集合A＝{x

x＝4n﹣1，n∈N}＝{﹣1，3，7，11，15，…}，B＝{3，8，11，14}，

所以A∩B＝{3，11}，故其真子集的个数为22﹣1＝3．

故选：B．

3．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百个）之间的四组数据如表：

售价x

5.5

销售量y

用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程＝﹣1.4x+17.5，那么表中实数a的值为（　　）

A．4B．4.7C．4.6D．4.5

解：由表中数据可知，＝×（4+a+5.5+6）＝，＝×（12+11+10+9）＝10.5，

∵线性回归方程＝﹣1.4x+17.5恒过样本中心点（，），

∴10.5＝﹣1.4×+17.5，解得a＝4.5．

故选：D．

4．若过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与左顶点的直线方程为x﹣2y+2＝0，则椭圆C的标准方程为（　　）

A．＝1B．＝1

C．＝1D．＝1

解：过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与左顶点的直线方程为x﹣2y+2＝0，

可得x＝0时，y＝1，所以b＝1，y＝0，时x＝﹣2，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为：＝1．

故选：C．

A．B．C．D．1﹣

解：圆形钱币的半径为r，面积为S圆＝πr2，

正方形边长为a，面积为S正方形＝a2，

在圆形内随机取一点，此点取自阴影部分的概率是P＝，

故选：A．

6．已知等比数列{an}中，anan+1＝4n，则公比q为（　　）

A．B．2C．±2D．±

解：由anan+1＝4n，得an+1an+2＝4n+1，

∴，即q2＝4，得q＝±2，

又anan+1＝＝4n＞0，∴q＞0，

则q＝2．

故选：B．

7．函数y＝（x3﹣x）?3

的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

解：设y＝f（x）＝（x3﹣x）?3

，该函数的定义域为R，

∵f（﹣x）＝[（﹣x）3﹣（﹣x）]?3

﹣x

＝﹣（x3﹣x）?3

＝﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，排除选项B和D，

当0＜x＜1时，x3＜x，∴f（x）＝（x3﹣x）?3

＜0，排除选项A，

故选：C．

A．4B．﹣1C．2D．

解：∵由题意可得：t＝2sin18°，

∴．

故选：D．

9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）

A．6B．7C．D．

解：根据几何体的三视图可知该几何体为五棱柱，直观图如图所示：

该几何体的底面为边长为2的正方形切去一个腰长为2的等腰直角三角形所形成的平面图形，

底面积为S＝．

所以V＝．

故选：B．

10．函数y＝sin2x﹣cos2x的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f（x）的图象，则下列说法不正确的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称

C．函数f（x）的图象关于（，0）对称

D．函数f（x）在[，]上递增

解：函数y＝sin2x﹣cos2x的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f（x）＝2sin（x﹣）的图象，

所以，对于A：函数的最小正周期为2π，故A正确；

对于B：当x＝时，f（）＝2sin＝2，故B正确；

对于C：当x＝时，f（）＝0，故C正确；

对于D：x∈[，]，故，故函数f（x）在[，]上单调递减，故D错误．

故选：D．

11．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD，AB＞CD，若双曲线E以A，B为焦点，且过C，D两点，则双曲线E的离心率的取值范围为（　　）

A．B．C．D．

解：设

＝2m（m＞0），∠BAD＝θ，，则

＝m，

在△ABD中，由余弦定理知，

2＝

2﹣2

cos∠BAD＝4m2+m2﹣2?2m?m?cosθ＝5m2﹣4m2?cosθ，

∴

＝，

由双曲线的定义知，

﹣

＝2a，

∴2a＝﹣m，

∴离心率＝＝，

又，∴cosθ∈（0，1），

∴﹣1∈（0，﹣1），

∴．

故选：B．

12．若直角坐标平面内A，B两点满足：

①点A，B都在函数f（x）的图象上；

②点A，B关于原点对称，则称点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”．

已知函数f（x）＝．恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜e﹣2B．0＜a≤e﹣2C．0＜a＜e﹣1D．0＜a≤e﹣1

解：由题意知，函数恰有两个“姊妹点对”，

等价于函数f（x）＝lnx（x＞0）与函数g（x）＝ax+1（x≥0）的图象恰好有两个交点，

∴方程lnx＝ax+1，即lnx﹣ax﹣1＝0在（0，+∞）上有两个不同的解．

构造函数h（x）＝lnx﹣ax﹣1，则，

当a≤0时，h（x）＞0，函数h（x）区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

当a＞0时，令h（x）＞0，解得，∴函数h（x）在区间上单调递增，

令h（x）＜0，解得，∴函数h（x）在区间上单调递减，

∴，解得0＜a＜e﹣2，

又h（e）＝lne﹣ae﹣1＝﹣ae＜0，∴函数h（x）在上有且仅有一个零点．

令，则，

令M（x）＞0，解得0＜x＜4，∴函数M（x）在区间（0，4）上单调递增，

令M（x）＜0，解得x＞4，∴函数M（x）在区间（4，+∞）上单调递减，

∴M（x）max＝M（4）＝ln4﹣3＜0，得，即．

又，

∴函数h（x）在上有且仅有一个零点．

综上：0＜a＜e﹣2．

故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量

＝2，＝（3，﹣4），若?（+）＝，则向量与向量夹角的余弦值为

解：?（+）＝，可得：＝，

所以＝﹣4＝，

向量与向量夹角的余弦值：＝＝．

故答案为：．

14．安排5个党员（含小吴）去3个不同小区（含M小区）做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M小区，但是小吴不去M小区，则不同的安排方法数为44．

解：根据题意，分2种情况讨论：

①M小区安排2人，需要在其他4人中选出2人安排到M小区，将剩下3人分为2组，安排到其他2个小区，

有C42C32A22＝36种安排方法，

①M小区安排3人，需要在其他4人中选出3人安排到M小区，将剩下2人安排到其他2个小区，

有C43A22＝8种安排方法，

则有36+8＝44种不同的安排方法，

故答案为：44．

15．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在同一球面上，底面ABC是等腰直角三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于16π．

解：设外接球的半径为R，由于底面ABC是等腰直角三角形且和球心O在同一平面内，

球心在三角形ABC的斜边的中点，底面面积为：＝R2，

三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为：＝，解得R＝2，

因此，球O的表面积为4πR2＝4π×22＝16π．

故答案为：16π．

16．将正整数排成如下数阵：

用aij表示第i行第j列的数，若aij＝，则i+j的值为．

解：由数阵的排列规律可知：每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，

∴由此归纳出第n行的最后一个数为n2，

∵＝，＝2，

∴出现在第45行，

又∵﹣＝84，

∴i＝45，j＝84，

∴i+j＝．

故答案为：．

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角B的大小；

（2）若a+c＝6，b＝2?，求△ABC的面积．

解：（1）由，∴﹣﹣＝﹣，∴+＝﹣，

∴2bcosB＝ccosA+acosC，

∴2sinBcosB＝sinCcosA+sinAcosC，

∴2sinBcosB＝sin（C+A）＝sinB，

sinB≠0，化为：cosB＝，

∵B∈（0，π），∴B＝．

（2）由余弦定理可得：＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，

∴12＝62﹣3ac，解得ac＝8．

∴△ABC的面积S＝×8×sin＝2．

18．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB．

（1）求证：PA⊥CD；

（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

解析：（1）连接OC，由AD＝BD知，点D为AO的中点，

又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，

∵AC＝BC，∴∠CAB＝60°，

∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，

∴PD⊥CD，PD∩AO＝D，

∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，

∴PA⊥CD．

（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，

由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，

∴CD⊥PB，又DE∩CD＝D，

∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，

∴CE⊥PB，

∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．

由（1）可知CD＝，PD＝BD＝3，

∴PB＝3，则DE＝＝，

∴在Rt△CDE中，tan∠DEC＝＝，

∴cos∠DEC＝，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．

得分

[30，40）

[40，50）

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，]

男性人数

女性人数

不太了解

比较了解

合计

男性

女性

合计

附：K2＝（n＝a+b+c+d）．

临界值表：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

10.

解：（1）由题意可得列联表如下：

不太了解

比较了解

总计

男性

女性

总计

≈11.＞10.，

所以有99.9%的把握认为“学生对“5G”的了解程度”与“性别”有关；

（2）由题意抽取的名学生中“比较了解”的频率为＝，

故抽取该校1名学生对“5G”“比较了解”的概率为，

所以X～B（3，），P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，

即X的分布列如下：

所以E（X）＝np＝3×＝．

20．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．

（1）求抛物线C1的方程；

（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN，问直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

解：（1）抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），

椭圆C2：x2+2y2＝1即x2+＝1的左、右顶点为（﹣1，0），（1，0），所以＝1，

即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；

（2）证明：设直线MN的方程为x＝my+n，与抛物线方程联立可得y2﹣4my﹣4n＝0，

则△＝16m2+16n＞0，即n+m2＞0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，

因为PM⊥PN，所以?＝0，

即（x1﹣1，y1﹣2）?（x2﹣1，y2﹣2）＝0，

所以（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，

即（my1+n﹣1）（my2+n﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，

整理可得（1+m2）y1y2+（mn﹣m﹣2）（y1+y2）+（n﹣1）2+4＝0，

所以﹣4n（1+m2）+4m（mn﹣m﹣2）+（n﹣1）2+4＝0，

化简可得n2﹣6n﹣4m2﹣8m+5＝0，

即（n﹣3）2＝4（m﹣1）2，解得n＝2m+5或n＝﹣2m+1，

当n＝2m+5时，满足△＞0，直线MN的方程为x＝my+2m+5，即为x﹣5＝m（y+2），即直线MN恒过定点（5，﹣2）；

当n＝﹣2m+1时，直线MN的方程为x＝my﹣2m+1，即为x﹣1＝m（y﹣2），即直线恒过定点（1，2），此时与P重合，故舍去．

综上可得，直线MN过定点（5，﹣2）．

21．已知函数f（x）＝lnx+．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；

（3）求证：当x＞0时，ln（x+1）＞．

（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），，

令f（x）＝0，即x2﹣2（a﹣1）x+1＝0，△＝4（a﹣1）2﹣4＝0，解得a＝2或a＝0，

若0≤a≤2，此时△≤0，f（x）≥0在（0，+∞）恒成立，

所以f（x）在（0，+∞）单调递增．

若a＞2，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1＝0的两根为：

，x2＝（a﹣1）﹣且x1＞0，x2＞0，

所以f（x）在上单调递增，

在上单调递减，

在上单调递增．

若a＜0，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1＝0的两根为：

，x2＝（a﹣1）﹣且x1＜0，x2＜0，

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．

综上所述：若a≤2，f（x）在（0，+∞）单调递增；

若a＞2，f（x）在，上单调递增，

在上单调递减．

（2）证明：由（1）可知当a＝2时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以f（x）＞f（1）＝0，所以f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．

（3）证明：由（2）可知在（1，+∞）恒成立，

所以在（0，+∞）恒成立，

下面证，即证2ex﹣x2﹣2x﹣2＞0，

设φ（x）＝2ex﹣x2﹣2x﹣2，φ（x）＝2ex﹣2x﹣2，

设μ（x）＝2ex﹣2x﹣2，μ（x）＝2ex﹣2，

易知μ（x）＝2ex﹣2＞0在（0，+∞）恒成立，

所以μ（x）＝2ex﹣2x﹣2在（0，+∞）单调递增，

所以μ（x）＝2ex﹣2x﹣2＞μ（0）＝0，

所以φ（x）＝2ex﹣x2﹣2x﹣2在（0，+∞）单调递增，

所以φ（x）＝2ex﹣x2﹣2x﹣2＞φ（0）＝0，

所以，即当x＞0时，．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．直角坐标系xOy中，曲线C：+＝1，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcosθ+2ρsinθ＝5．

（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；

（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．

解：（Ⅰ）由ρcosθ+2ρsinθ＝5，且x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得直线l的直角坐标方程为x+2y﹣5＝0，

由曲线C：+＝1，令，，

可得曲线C的参数方程为（θ为参数），

可得曲线C的参数方程为（θ为参数）；

（Ⅱ）设P（2cosθ，）（0≤θ＜2π），则P到直线x+2y﹣5＝0的距离：

d＝＝．

∴当sin（）＝1时，d有最小值．

此时θ＝，点P的坐标为（1，）．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝

x﹣3

，g（x）＝﹣

x+4

+m．

（1）已知常数a＜2，解关于x的不等式f（x）+a﹣2＞0；

（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）由f（x）+a﹣2＞0，可得

x﹣3

＞2﹣a（a＜2），

所以x﹣3＞2﹣a或x﹣3＜a﹣2，即x＞5﹣a或x＜a+1，

故不等式的解集为（﹣∞，a+1）∪（5﹣a，+∞）；

（2）f（x）＞g（x）恒成立，所以m＜

x﹣3

x+4

恒成立，

因为

x﹣3

x+4

≥

x﹣3﹣x﹣4

＝7，

当﹣4≤x≤3时，上式取得等号，

所以m＜7，则m的取值范围是（﹣∞，7）．

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